El Rincón Matemático

La elipse el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.  ELEMENTOS DE LA ELIPSE f RELACIÓN ENTRE LA DISTANCIA FOCAL Y LOS SEMIEJES Como vemos, hay un momento de la elipse en que se forma un triángulo rectángulo. Por tal razón, usamos el teorema de Pitágoras: EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y a el semieje mayor: La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Cuanto más se aproxime a 0, tomará más forma de circunferencia, y cuanto más se aproxime a 1 tomará una forma más achatada. CASOS DE LA ELIPSE (CON CENTRO DENTRO/FUERA DEL ORIGEN) La elipse puede darse de distintas formas: HORIZONTAL    En este caso los focos se ubican en el eje de las x. Si el centro de la elipse está en el origen se p

La geometría analítica se caracteriza por la aparición de los métodos algebraicos al estudio de la geometría mediante el uso de sistema de coordenadas (plano cartesiano). LUGAR GEOMÉTRICO Un lugar geométrico es el conjunto de puntos del plano que cumple determinada característica geométrica común. Si la característica se puede representar mediante una relación algebraica, a dicha relación se le llama ecuación del lugar geométrico. EJEMPLO: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos es igual a P1(x1,y1) y P2(x2,y2) del plano. Se denota d(P1,P2) y se determina mediante la expresión   EJEMPLO: PENDIENTE DE UNA RECTA Se define la pendiente de la recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) como: EJEMPLO: Así, la pendiente de la recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje x. El ángulo se conoce como ángulo de inclinación de la recta. Es decir, es posible definir la pendiente de una recta e

LEY DEL SENO En todo triángulo, el seno de los ángulos y la medida de los lados respectivamente opuestos a dichos ángulos son directamente proporcionales. EJEMPLO: LEY DEL COSENO En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos veces el producto de estas longitudes por el coseno del ángulo comprendido entre ellos. EJEMPLO: A medida que se va resolviendo el triángulo, las condiciones de este cambian y es posible usar la ley del seno.

En este tema se estudiará la solución de triángulos en los cuales ningunos de los ángulos es recto. Este tipo de triángulos se denominan "oblicuángulos". Para resolver los triángulos oblicuángulos se usan dos teoremas: teorema o ley del seno y teorema o ley del coseno. En la resolución de triángulos oblicuángulos se pueden presentar 4 casos CASO 1 (LAA o ALA) Se conocen dos ángulos y un lado del triángulo. CASO 2 (LLA) Se conocen dos lados y un ángulo. CASO 3 (LAL) Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. CASO 4 (LLL) Se conocen los tres lados. Para resolver triángulos que cumplen las condiciones 1 y 2 se usa la ley del seno. Para resolver triángulos que cumplen las condiciones 3 y 4 se usa la ley del coseno. En la siguiente entrada veremos estos teoremas.

Una identidad es la igualdad entre dos expresiones que matemáticamente se escriben diferente, pero es lo mismo y es válida para cualquier valor que tome la variable o las variables.  Cuando es una identidad se involucran las funciones trigonométricas esta se denomina identidad trigonométrica.  IDENTIDADES FUNDAMENTALES Se llaman identidades fundamentales a aquellas que se deducen directamente de las definiciones. Estas identidades se utilizan para transformar una expresión en otra, lo cual permite comprobar otras identidades y resolver ecuaciones que involucran funciones trigonométricas.                        . RECÍPROCAS COCIENTES PITAGÓRICAS Estas últimas tres se pueden despejar y obtener nuevas identidades. DEMOSTRACIÓN DE UNA IDENTIDAD El método de demostración de una identidad consiste en mostrar que uno de los miembros de una igualdad es igual a otro. Para ello se sugiere los siguientes pasos: Transformar el miembro más complejo de la igu

Para simplificar una fracción en la que el numerador y el denominador son productos de funciones trigonométricas, se aplica la propiedad del cociente de igual base. EJEMPLO: Para simplificar una fracción en la que el numerador y denominador consta de dos o más términos, se factoriza el numerador y el denominador y se simplifica los factores comunes. EJEMPLO:

Es posible factorizar expresiones que involucren funciones trigonométricas mediante los mismos métodos que se usan para la factorización de polinomios. FACTOR COMÚN En este caso, es necesario identificar un factor que aparezca en todos los términos de la expresión y aplicar la propiedad distributiva. Si no encontramos factor común entre los números podemos descomponerlos buscando una multiplicación que sea igual a dicho número y sea semejante a los otros. De igual manera también podemos hacerlo con los exponentes. EJEMPLO:  sen2x + senx.cosx cuando tenemos sen2x podemos decir que es igual a senx.senx, entonces: senx.senx+senx.cosx Vemos que ambas expresiones tiene senx. Ese serà nuestro factor común y obtenemos: senx(senx+cosx) 5tan4x + 25tan2x Como vemos, podemos descomponer los números buscando multiplicaciones que sean igual a dichos númers. Entonces: 5.1tan2x.tan2x + 5.5tan2x  Nuestro factor común en los números será 5 y en la expr

Para dividir funciones trigonométricas se debe tener en cuenta la ley de los signos y recordar cómo multiplicamos números naturales. Ley de los signos  División de números naturales Es importante resaltar que al momento de colocar una expresión en el cociente el resultado pasará al lado opuesto con el signo contrario. El valor que se ponga en el cociente debe multiplicar a todas las expresiones dentro del divisor.  Veamos un ejemplo:

Para multiplicar funciones trigonométricas se aplican las propiedades de la multiplicación y las propiedades de la potenciación. RECORDEMOS: Ley de los signos      Propiedades de la potencia Veamos ejemplos: senx(senx.cosx) Al estar toda la expresión multiplicándose, simplemente se quita el paréntesis y se resuelve la operación aplicando las propiedades de la potencia y ley de los signos: Cuando dentro se están sumando o restando las expresiones, la expresión que está fuera debe multiplicar todos los valores dentro del paréntesis: Y, finalmente, se resuelve aplicando propiedades de la potencia y ley de los signos: NOTA: cuando se multiplica una función con un número real o una fracción, se multiplica los números naturales o la fracción (recordando que para multiplicar fraccionarios se debe ultiplicar numerador por numerador y denominador por denominador) y se mantiene la función que tenga la expresión.

Para resolver operaciones de suma y resta de expresiones que involucran funciones trigonométricas se deben agrupar y reducir los términos semejantes. Es importante recordar que al momento de sumar signos iguales se mantiene el mismo signo. Pero si sumamos signos diferentes, estos deben restarse y se mantendrá el signo de valor que sea mayor. Veamos ejemplos: senx + cosx + 3senx + 5cosx  Primero agrupamos términos semejantes: senx + 3senx + cosx + 5cosx Luego, sumamos los valores y dejamos las funciones trigonométricas: 4senx + 6cosx senx.cosx - 3cosx.senx + senx - cosx Esta es un poco más fácil. Como vemos ya están agrupadas y senx y  cosx quedan expresados igual ya que no tiene términos semejantes. La expresión queda:  -2senx.cosx + senx - cosx agrupamos términos semejantes: juntamos los valores que tienen funciones semejantes  y se procede a la realización de la suma o resta de fraccionarios. RECORDEMOS: si las fracciones s